Formulario #

Generale #

Derivata di un vettore di modulo costante #

📖 Un vettore di modulo costante è sempre perpendicolare alla sua derivata (rispetto al tempo)
$$ \vec{a} \perp \frac{d\vec{a}}{dt} $$

Cinematica #

Problema diretto della dinamica #

Sia noto il vettore posizione $\vec{r}$, troviamo il vettore velocità e il vettore accelerazione:

\[\vec{v} = \frac{d\vec{r}{dt}\] }

\[\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2}\]

Problema inverso della dinamica #

Sia noto il vettore accelerazione, troviamo velocità e posizione rispetto al tempo:

\[\vec{v}(t) = \vec{v}_0 + \int_{t_0}^{t} {\vec{a}(s)ds} \\ \vec{r}(t) = \vec{r}_0 + \int_{t_0}^{t} {\vec{v}(s)ds}\]

Rappr cartesiana → Rappr. intrinseca #

Siano note le variabili cinematiche in rappr. cartesiana:

\[\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k} \\ \vec{v} = v_x\hat{i} + v_y\hat{j} + v_z\hat{k} \\ \vec{a} = a_x\hat{i} + a_y\hat{j} + a_z\hat{k}\]

Troviamo il modulo della velocità lungo lo spostamento
\[ \dot{s} = |\vec{v}| = \sqrt{v^2} = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2} \]
Troviamo il versore tangente

$$ \hat{u}_t = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} $$

Troviamo la componente (il modulo) dell’accelerazione tangente allo spostamento

$$ a_t =\ddot{s} = \vec{a} \cdot \hat{u}_t \\ \vec{a}_t = a_t \hat{u}_t $$

Troviamo la componente normale dell’accelerazione normale allo spostamento
$$ \vec{a}_n = \vec{a}-\vec{a}_t \ a_n = |\vec{a}_n| = \sqrt{a^2 - a_t^2} $$
Troviamo il vettore normale
$$ \hat{u}_n = \frac{\vec{a}_n}{|\vec{a}_n|} $$
Troviamo il raggio di curvatura
$$ \rho = \frac{\dot{s}^2}{a_n} $$
L’accelerazione totale è
$$ \vec{a}=\ddot{s}\hat{u}_t + \frac{\dot{s}^2}{\rho}\hat{u}_n $$

Coordinate polari piane #

\[\begin{cases} x = r \cos{\phi} \\ y = r \sin{\phi} \end{cases} \quad \longrightarrow \quad \begin{cases} r = \sqrt{x^2 + y^2} \\ \phi = \arctan{\frac{y}{x}} \end{cases}\]

Moto circolare #

$$ S(t) = R\cdot\phi(t) $$

Con S arco di circonferenza $[0\le S \le 2\pi R]$ e $R=\vec{|r|}$ il raggio della circonferenza.

$$ \vec{r}(s)=R\cos\left(\frac{S}{R}\right) \hat{i} \ + \ R\sin\left(\frac{S}{R}\right)\hat{j} $$

La posizione dipende solo dall’angolo $\phi$ .

Angolo:	$\phi = \frac{S}{R}$
Velocità angolare:	$\omega = \dot{\phi}=\frac{\dot{S}}{R}=\frac{v}{R}$
Accelerazione angolare:	$\alpha=\dot{\omega} = \frac{\ddot{S}}{R}$

\[\vec{v} = R\omega{\hat{u}_\phi}=\dot{S}{\hat{u}_\phi}\\ \vec{a}=R\alpha{\hat{u}_\phi}+R\omega^2({-\hat{u}_r})=\ddot{S}{\hat{u}_\phi}+ \frac{\dot{S}^2}{R}{-\hat{u}_r}\]

Moto periodico #

Soluzione generale

$$ f(x)= A \cos{(\omega t+\phi_0)} $$

Con

$T$ periodo
$\omega$ pulsazione, ovvero n. di giri compiuti nell’unità di tempo,
$\nu = \frac{1}{T}$ frequenza, ovvero n. di T contenuti nell’unità di tempo

Moto oscillatorio armonico #

$$ x(t) = l \cos{(\omega t + \phi_0)} $$

con

$l$	ampiezza
$\omega t + \phi_0$	fase
$\phi_0$	fase iniziale

Statica #

Momento di un vettore #

↪️ Momento di un vettore applicato $F$ rispetto al polo $\Omega$ :

\[\begin{cases} \vec{M}_\Omega = \vec{r} \wedge \vec{F} \\ M_\Omega = |\vec{r}| |\vec{F}| \sin{\theta} \end{cases}\]

Statica del corpo esteso #

Un corpo esteso risulta in condizione di equilibrio quando:

$\left{\begin{aligned} & \vec{R} \ = \sum{\vec{F}i}=0 \ & \vec{M}\Omega = \sum {\vec{M}_i} = 0 \end{aligned}\right.$

Dinamica #

Secondo principio della dinamica #

Piano inclinato liscio #

$$ t = \sqrt{\frac{2L}{g \sin \alpha}} = \sqrt{\frac{2h}{g \sin^2 \alpha}} $$

$h$ → altezza del corpo rispetto alla $h=0$
$g$ → accelerazione di gravità

Forza elastica / legge di Hooke #

$$ \vec{F} = -kx \hat{i} $$

Pendolo semplice #

$$ \theta(t) = \alpha \sin(\omega t), \quad \alpha = \frac{v_0}{\sqrt{gl}}, \quad \omega = \sqrt{\frac{g}{l}} $$

$$ \frac{d\theta}{dt} = \alpha \omega \cos{\theta} $$

Reazione vincolare:

$$ R_v = ml \dot\theta + mg \cos{\theta} $$

Forza di attrito statico #

$$ F_{AS} = \mu_S F_{\perp} $$

con $\mu_S$ coefficiente di attrito statico.

Forza di attrito dinamico #

\[\vec{F}_{AD} = \mu_D F_{\perp} (-\hat{u}_t)\]

Lavoro ed energia #

Lavoro infinitesimo e lavoro #

Lavoro infinitesimo compito da $\vec{F}$ durante uno spostamento infinitesimo $d\vec{l}$

$$ \delta\mathscr{L} = \vec{F} \cdot d\vec{l}, \quad \mathscr{L} = \int \delta\mathscr{L} $$

In coordinate cartesiane:

\[\begin{align} \mathscr{L} &= \underset{\ell}{\int_{A}^{B}} \vec{F}(x,y,z)\cdot d\vec{l} \\ &= \underset{\ell}{\int_{A}^{B}} \left[F_{x}(x,y,z)dx + F_{y}(x,y,z)dy + F_{z}(x,y,z)dz \right] \end{align}\]

Lavoro di una forza elastica #

\[\mathscr{L}_{1,2} =\int_\ell -k \Delta x = -\frac{k}{2} \left(x^2_2-x^2_1 \right)\]

Potenza di una forza #

$$ P=\frac{\delta\mathscr{L}}{dt} = \vec{F}\cdot\vec{v} $$

Teorema delle forze vive #

Per un punto materiale…

$$ T = \frac{1}{2}mv^2 \ \text{La variazione di energia cinetica corrisponde al lavoro svolto}\ \delta\mathscr{L} = dT $$

Forze conservative #

Forze posizionali in cui il lavoro non dipende mai dal percorso, ma solo dal punto di partenza e dal punto di arrivo.

Prima proprietà - Circuitazione nulla #

$$ \mathscr{L} = \oint{\vec{F}} \cdot dl = 0 $$

La circuitazione di un campo conservativo è nulla.

Seconda proprietà - Energia potenziale #

$$ \mathscr{L}_{A,B}=U(A)-U(B) = \phi(B)-\phi(A) $$

Esiste una funzione scalare, detta energia potenziale (o semplicemente potenziale), tale che il lavoro per spostarsi dalla configurazione A alla configurazione B è dato dalla differenza tra l’energia potenziale in A e in B.

Terza proprietà - Gradiente del campo #

Esiste una funzione scalare $U(P) = -\phi(P)$ , detta energia potenziale, tale che..

$$ \vec{F} = -\vec\nabla U $$

Il campo può essere scritto come gradiente di una funzione.

Quarta proprietà - Campo irrotazionale #

$$ \vec\nabla \wedge \vec F = 0 \iff \text{campo conservativo} $$

Il campo è conservativo se e solo se è irrotazionale.

Conservazione dell’energia meccanica #

In presenza di forze tutte conservative

Potenziali notevoli #

Potenziale forza peso	$U(P)= mgz$
Potenziale elastico	$U(P) = k\frac{ \| \vec r^2 \| }{2}$
Potenziale forza costante	$U(P)=-f_xx-f_yy-f_zz$

Terzo principio della dinamica #

Quantità di moto #

$$ \vec q = m \vec v $$

A massa costante, possiamo dire che

$$ \vec F = \frac {d\vec q} {dt} $$

La forza rappresenta quindi la variazione della quantità di moto nel tempo.

Urti #

Forze impulsive #

Nell’istante in cui agiscono si può considerare il sistema come ******isolato******

$$ \int_{t_1}^{t_2}{\vec F dt} = \vec q(t_2) - \vec q(t_1) = \Delta \vec q $$

Forza media #

$$ \left<\vec F\right> = \frac 1 {\Delta t} \int_{t_1}^{t_2} {\vec F dt} = \frac{\vec q(t_2) - \vec q(t_1)}{\Delta t} = \frac{\Delta \vec q}{\Delta t} $$

Con $\left<F\right>$ forza media

Urti collineari elastici #

Si conservano sia la ****************quantità di moto**************** che l’******************energia cinetica******************.

$$ Q_{\text{in}} = Q_{\text{fin}} \ T_{\text{in}} = T_{\text{fin}} $$

Urti collineari totalmente anelastici #

Si conserva solo la ****************quantità di moto****************.

$$ Q_{\text{in}} = Q_{\text{fin}} \

m_1 \vec v_{1} + m_2 \vec v_{2} = (m_1 + m_2) \vec v_{fin} $$

Elettrostatica #

Densità volumetrica di carica: #

$$ \rho = \frac{dq}{d\tau} $$

$$ q_\tau = \iiint_\tau\rho d\tau $$

Densità superficiale di carica #

Sia $S$ una superficie

$$ \sigma= \frac{dq}{dS} $$

$$ q_\tau = \iint_S\sigma dS $$

Densità lineare di carica #

Sia $l$ una curva

$$ \lambda = \frac{dq}{dl} $$

$$ q_\tau = \int_l \lambda dl $$

Elettrostatica dei conduttori #

Campo elettrico all’interno dei conduttori #

Campo elettrico in prossimità della superficie dei conduttori #

Il campo in prossimità della superficie dei conduttori è perpendicolare alla superficie e di modulo:

$$ E = \frac{\sigma}{\epsilon_0} $$

con $\sigma$ densità superficiale di carica

Conduttore sferico: #

$$ \vec E = \begin{cases} 0 & \text{se } r < R \ \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{r^2}\hat{u}_r & \text{se } r > R \end{cases} $$

$$ V = \begin{cases} \frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{R} & \text{se } r < R \ \frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r} & \text{se } r > R \end{cases} $$

Conduttori collegati #

Se due conduttori carichi vengono collegati, si forma un unico conduttore equipotenziale dunque il potenziale è il medesimo su entrambi gli oggetti.

Esempio: Due sfere cariche collegate hanno potenziale:

$V_1 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_1}{R_1}$
$V_2 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_2}{R_2}$

Se esse vengono connesse: $V_1 = V_2$

Ne consegue:

$$ \frac{Q_1}{R_1} = \frac{Q_2}{R_2} \implies Q_1R_2 = Q_2R_1 $$

Da cui si ricava:

$$ \left{\begin{aligned} Q_{1_f} = \frac{R_1}{R_1+R_2}(Q_{1_i} + Q_{2_i}) \ Q_{2_f} = \frac{R_2}{R_1+R_2}(Q_{1_i} + Q_{2_i}) \end{aligned} \right. $$

Capacità #

$$ C = \frac{Q}{V} $$

Con $Q$ quantità di carica e $V$ voltaggio tra le due armature.

Energia potenziale sistemi di cariche #

Densità volumetrica di energia: #

$$ u_E = \frac{1}{2}\epsilon_0E^2 = \frac{dU_E}{d\tau} $$

$$ U_E = \int_\tau u_E d\tau $$

Condensatori con dielettrici #

$$ \left{ \begin{aligned} &\vec{E} = \frac{1}{\epsilon_r}\vec{E}_0\ &\Delta V = \frac{1}{\epsilon_r}\Delta V_0 \ & C = \epsilon_rC_0 = \epsilon_r\epsilon_0\frac{S}{d} \end{aligned} \right. $$

Correnti #

Modello di Drude - Lorentz #

Corrente di spostamento (Condensatore) #

$$ i_s = \epsilon_0 \frac{d\Phi (\vec{E})}{dt} $$

Magnetostatica #

Campo magnetico generato da un solenoide #

Campo interno generato da un solenoide con

Numero di spire	$N$
Lunghezza	$L$
Corrente stazionaria	$i$

$$ \vec B = \mu_0 ni\hat k = \mu_0 \frac N L i \hat k $$

Esternamente il campo è nullo.

Seconda legge di Laplace #

$$ d\vec{F} = id\vec{l}\wedge\vec{B} $$

$$ \vec{F} = \int_{filo}\vec{j}\wedge \vec{B}d\tau $$

è la forza su un filo di lunghezza $l$ e volume $\tau$ immerso in un campo magnetico.

Forza di Lorentz #

$$ \vec{F} = q\vec{v}\wedge \vec{B} $$

con $\vec v$ velocità della particella carica in movimento e $\vec B$ campo magnetico in cui è immersa.

Generalizzando, una particella carica immersa in un campo elettromagnetico subisce una forza:

$$ \vec{F} = q\vec{E} +q\vec{v}\wedge \vec{B} $$

Legge di Ampere #

$$ \oint_\Gamma \vec{B}\cdot d\vec{l} = \mu_o\sum_k^{conc}i_k $$

La circuitazione di un campo magnetico è proporzionale alla somma delle correnti concatenate.

$$ \sum_k^{conc}i_k = \iint_S \vec{J}_c \cdot \hat{n}dS $$

Dove $S$ è una generica superficie orientata che ha per bordo $\Gamma$ e $J_c$ è la densità di corrente concatenata.

In forma locale otteniamo:

$$ \vec{\nabla}\wedge \vec{B} = \mu_0\vec{J} $$

In ogni punto dello spazio, il rotore del campo magnetico è proporzionale alla densità di corrente in quel punto.

Elettromagnetismo #

Leggi di Maxwell #

Flusso del campo elettrico #

$$ \vec \nabla \cdot \vec E = \frac \rho {\epsilon_0}, \qquad \oiint_S {\vec E \cdot \hat n dS = \frac{Q_s}{\epsilon_0}} $$

Con $\vec E$ campo elettrico, $\rho$ densità di carica.

Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa $S$ è uguale al rapporto tra la carica totale presente all’interno della superficie e la costante dielettrica nel vuoto.

Flusso del campo magnetico #

$$ \vec \nabla \cdot \vec B = 0, \qquad \oiint_S {\vec B \cdot \hat n dS} = 0 $$

Con $\vec B$ campo magnetico.

Il flusso del campo magnetico attraverso una superficie chiusa $S$ è sempre nullo.

Circuitazione del campo elettrico (f.e.m.) #

$$ \vec \nabla \wedge \vec E = - \frac {\partial \vec B}{\partial t}, \qquad \oint_\Gamma{\vec E \cdot d\vec l} = -\frac{d}{dt} \iint_S{\vec B \cdot \hat n dS} $$

La circuitazione del campo elettrico (ovvero la differenza di potenziale = f.e.m.) su una linea chiusa $\Gamma$ è uguale all’opposto della variazione nel tempo del flusso del campo magnetico attraverso la superificie chiusa $S$ che “si appoggia” su $\Gamma$ .

Circuitazione del campo magnetico #

$$ \vec\nabla\wedge \vec B = \mu_0\vec j+\mu_0\epsilon_0 \frac{\partial\vec E}{\partial t} ,\qquad \oint_\Gamma{ \vec B \cdot d\vec l} = \mu_0 \sum_k^{conc}{(i_c+i_s)} $$

La circuitazione del campo magnetico su una linea chiusa $\Gamma$ è proporzionale (con costante di proporzionalità $\mu_0$ ) alla somma delle correnti concatenate (che bucano la superficie) di spostamento e di conduzione.

Angolo:	\(\phi = \frac{S}{R}\)
Velocità angolare:	\(\omega = \dot{\phi}=\frac{\dot{S}}{R}=\frac{v}{R}\)
Accelerazione angolare:	\(\alpha=\dot{\omega} = \frac{\ddot{S}}{R}\)

Potenziale forza peso	\(U(P)= mgz\)
Potenziale elastico	\(U(P) = k\frac{ \| \vec r^2 \| }{2}\)
Potenziale forza costante	\(U(P)=-f_xx-f_yy-f_zz\)