Esempi di domande ed esercizi di esame #

⚠️ ATTENZIONE ⚠️

La lista che segue è solo un esempio di domande e esercizi che possono essere presenti all’esame.

Non è una lista completa e non è garantito che vengano richiesti SOLAMENTE questi esercizi e domande.

In generale, è sempre meglio studiare tutto il materiale che viene trattato durante il corso.

L’utilizzo corretto della lista è quello di provare a risolvere gli esercizi e rispondere alle domande fornite, e proprio per questo non verranno fornite le soluzioni.

Esercizi #

Esercizio 1 #

Siano \(X\) e \(Y\) uniformi su \([0,2]\), \(Z=X+Y\), trovare valore medio, varianza, funzione di ripartizione e funzione di densità.

Esercizio 2 #

Sia \(X\) una variabile casuale con funzione di densità \(f_X(x)=c\cdot x\), trovare \(c\), \(E[X]\).

Sia poi \(Y = X^2\), trovare \(f_Y(y)\), \(E[Y]\).

Domande di teoria #

Definizione classica di probabilità #

• Cos’è lo spazio campione?
• Quali sono gli assiomi di Kolmogorov?
  • Definizione classica di probabilità
  • Dimostrazione delle proprietà degli assiomi
• Quando due eventi sono indipendenti?
• Teorema delle probabilità totali
• Teorema di Bayes

Variabili casuali #

• Che cos’è la covarianza?

• Variabili casuali esponenziali

  • Calcola funzione generatrice dei momenti
  • Proprietà: assenza di memoria (Rientra nel primo caso, con la somma)

• Variabili casuali di Poisson

  • Vista come limite della binomiale

• Variabile casuale gaussiana

  • Funzione di densità
  • Funzione generatrice dei momenti

• Distribuzione chi quadro

  • Definizione
  • Media e varianza a partire dalla funzione generatrice dei momenti della gaussiana

• Variabili casuali doppie

  • Continue
  • Proprietà
  • Funzione di ripartizione
  • covarianza, che ha senso per delle coppie di variabili
  • Proprietà
  • coefficiente di correlazione

• Quando due variabili x e y sì definiscono indipendenti?

• processo stocastico di poisson

• Funzione generatrice di momenti

• Funzione di una variabile casuale

• Funzioni di due variabili casuali

  • Funzione di convoluzione

Legge dei grandi numeri #

• Disuguaglianza markov
• Disuguaglianza cebycev
• Legge grandi numeri
• Spilli di Buffon 
• Corollario di bernoulli

Teorema del limite centrale #

• Teorema del Limite Centrale
  • Dimostrazione
  • Applicazioni e cosa significa
  • Perché la binomiale rientra nel T. del limite centrale?