Coppie di variabili casuali discrete #

Funzione di massa di probabilità congiunta #

\( \begin{aligned} &p: \mathbb{R}^2 \to [0,1] \\ &p(a,b) = P(X=a, Y=b) \end{aligned} \)

Proprietà #

1. \(p(a,b) \in [0,1]\)
2. \(\sum_{k=1}^n \sum_{j=1}^m p(a_k,b_j) = 1\)

Funzioni di massa di probabilità marginali #

\( \begin{aligned} p_X(a) &= P(X=a) \\ &= P(X=a, Y \ \text{qualsiasi}) \\ &= \sum_{j=1}^m p(a,b_j) \end{aligned} \)

\( \begin{aligned} p_Y(b) &= P(Y=b) \\ &= P(X \ \text{qualsiasi}, Y=b) \\ &= \sum_{k=1}^n p(a_k,b) \end{aligned} \)

Esempio #

Scatola di 12 palline. 3 rosse, 4 nere, 5 blu. Estrazione senza reimmissione di 3 palline. Calcolare la funzione di massa congiunta e le funzioni di massa marginali.

\(X=\text{numero di palline rosse estratte}\)

\(Y=\text{numero di palline nere estratte}\)