Disuguaglianza di Markov #
Teorema #
Data una variabile casuale \(X \ge 0\) e data \(a \in \mathbb R\) , vale:
\[ P(X \ge a) \le \frac {E[X]}{a}\]Ovvero, riusciamo a stimare \(P(X \ge a)\) attraverso il suo valor medio.
Osservazione #
\(\displaystyle\frac {E[X]} a \lt 1\) , perchè altrimenti il risultato non è significativo.
Ricorda che la probabilità è sempre minore di 1!
Dimostrazione #
La dimostrazione è effettuata per il caso continuo, ma è facile estenderla al caso discreto.
Caso continuo #
Supponiamo che \(X\) sia una variabile casuale continua con densità di probabilità \(f\) e che \(a \gt 0\) .
\[\begin{aligned} E[X] \overset{\text{per def}}{=} & \int_{\mathbb R} x f(x) dx \quad \overbrace{=}^{x \ge 0} \int_{0}^{\infty} x f(x) dx \\ =& \int_0^a x f(x) dx + \int_a^{\infty} x f(x) dx \ge \int_a^{\infty} x f(x) dx \\ \underbrace{\ge}_{x \ge a}&\int_a^{\infty} a f(x) dx = a \underbrace{\int_a^{\infty} f(x) dx}_{\text{definizione di } P(X \ge a)} \\ =& \quad \bold{a \cdot P(X \ge a)} \end{aligned}\]