Valor medio di una variabile casuale #
Il valor medio di una variabile casuale, anche detto valore atteso, media teorica o speranza matematica è definito in questo modo:
\[E[X] = \begin{cases} \displaystyle\sum_{k=1}^{n}{x_k \cdot p(x_k)} \quad \text{se } X \text{ discreta, }X \in \{x_1, ... x_n\}\\ \displaystyle\int_{\mathbb{R}}{x \cdot f(x) dx} \quad \text{se } X \text{ continua} \end{cases}\]Proprietà #
Proprietà 1. #
Se Y = h(X), con X variabile casuale nota, vale:
\[E[Y] = E[h(X)] = \begin{cases} \displaystyle\sum{k=1}^n{h(x_k) \cdot p(x_k)}\quad &\text{se } X \text{ discreta, }X \in \{x_1, ... x_n\} \\\ \displaystyle\int_{\mathbb{R}}{h(x) \cdot f(x) dx} \quad &\text{se } X \text{ continua} \end{cases}\]Proprietà 2. #
Caso particolare della 1. Se \(Y = \alpha X+ \beta\), con \(\alpha \in \mathbb{R}, \beta \in \mathbb R\)
\(E[Y] = \alpha E[X] + \beta\)Dimostrazione #
Sia \(X\) una variabile casuale discreta, con \(X \in \{x_1, x_2, ..., x_n\}\)
\[\begin{aligned} E[X] &= \sum_{k=1}^{m}{h(x_k) \cdot p(x_k)} = \\ &= \sum_{k=1}^{m}{(\alpha x_k + \beta) \cdot p(x_k)} = \\ &= \alpha \underbrace{\sum_{k=1}^{m}{x_k \cdot p(x_k)}}_{E[X] \text{ per definizione}} + \beta \overbrace{\sum_{k=1}^{m}{p(x_k)}}^{=1 \text{ (prop. funzioni di massa)}} = \alpha E[X] + \beta \end{aligned}\]In maniera simile si dimostra il caso continuo.
Proprietà 3. #
Se \(Z = g(X,Y)\) , con \(X, Y\) variabili casuale note, vale:
\(E[Z] = \begin{cases} \displaystyle\sum_{k=1}^m \sum_{j=1}^n g(x_k, y_j) \cdot p(x_k, y_j) \quad &\text{se } X,y \text{ discrete} \\\ \displaystyle\iint_{\mathbb{R^2}}{g(x,y) \cdot f(x,y) dx dy} \quad &\text{se } X,Y \text{ continue} \end{cases}\)Proprietà 4 #
Date \(X, Y\) variabili casuali, vale: \[E[X+Y] = E[X] + E[Y]\]
Valor medio di una Bernoulliana #
\(X \sim Be(p)\)
\(X = \begin{cases}
1 \\
0 \\
\end{cases}\)
\[E[x] = \underbrace{\sum_{k=1}^m x_k p(x_k)}_{\text{definizione di valor medio}} = 0 \cdot p(0) + 1 \cdot p(1) = 1 \cdot p = p\]
Valor medio di una binomiale #
Momento n-esimo di una variabile casuale #
Se esiste, si definisce il momento n-esimo di una variabile casuale \(X\) come:
\[E[X^n]\]- 0-esimo momento = 1
- 1 momento = \(E[X]\) = valor medio.
Il valor medio è definito come il primo momento.